Projectile#

Projectile#

$u$ 可以被拆解成两个分力: Horizontal: $u_x = u\cos\theta$ ; vertical: $v_y = u\sin\theta$

其中 $u_x$ 不随改变，$u_x$ 没有受到任何加速度， 所以 $u_x = u\cos\theta$ （$u_x$ 永远是初速度 $u$ 在 $x$ 方向上的水平分量）

其中 $u_y$ 会因为 $g$ 的存在而不断随时间变化， 所以 $v_y = u\sin\theta - gt$ （由 $v = u + at$ 推导得，$a$ 为负数，$g$ 为重力加速度，故 $a = -g$）

当 particle 位于最高点时，垂直分量为 0，所以： $v_y = 0$ when the particle reaches its highest point.

一个 particle 从出发点再到最高点，再从最高点回到与出发点同一水平线 时的时间是一样的，所以： the total flight time is $t = \frac{2u\sin\theta}{g}$

将 $\begin{cases} u_x = u\cos\theta \\ u_y = u\sin\theta \end{cases}$ (分量) 应用到 $s = ut + \frac{1}{2}at^2$， 得到：

将 total flight time $t = \frac{2u\sin\theta}{g}$ 应用到 $x = u\cos\theta \cdot t$ 时：

例： $u = 20\ \text{m/s}$ $\theta = 50^\circ$

1. 求 range of the particle.

2. 求 the time taken to reach the highest point.

3. 求 the speed of the particle when $t = 0.5\ \text{s}$.

另外用 $v^2 = u^2 + 2as$ 求 particle 在某一高度时的垂直速度：

例1：

1. 求 the exact time taken to reach the floor.

2. 求 the exact speed as it hits the floor.

3. Time.

$t > 0$

The particle takes $3\sqrt{2}\ \text{s}$ to reach the floor.

2. Speed. ① $v^2 = u^2 + 2as$

② $v_x = u\cos\theta = 12.5\sqrt{2}.$ ③ $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ $= 5\sqrt{37}\ \text{m/s}$

The speed is $5\sqrt{37}\ \text{m/s}$

同样的方法还可以应用到负角度上：

$10\ \text{m/s}$ $20^\circ$ ← 初始角 这种情况，求这个 particle 做 抛物线运动，下降 900m 之后的时速。

①. Vertically:

②. Horizontally: $v_x = 10\cos20^\circ = 9.06.$ ③. $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ $= 134.54$

The Cartesian equation of the trajectory#

Trajectory: 发射角度, 发射速度, 水平位移, 垂直位移 四者之间的关系 $\theta$ $u$ $x$ $y$.

已知:

再将 $t = \frac{x}{u\cos\theta}$ 代入进 $y = u\sin\theta \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$ 中：

以此为基点, 一个 particle 在发射后再次回到同一水平线的情况, 可以假设 $y=0$ 推导出来: $0 = x\left(\tan\theta - \frac{gx}{2u^2\cos^2\theta}\right)$ $\tan\theta = \frac{gx}{2u^2\cos^2\theta}$ $x = \frac{u^2\sin2\theta}{g}$ distance

这与之前推导的 total flight time 的式子相同.

例: 一个 particle 在高度为1的地方发射, $\theta = 25^\circ$, $u = 20$, 求下降时高度为2时 particle 经过的水平距离. 解: 高度变化为 $1(= 2-1)$ $y = x\tan\theta - \frac{gx^2}{2u^2\cos^2\theta}$ $1 = \tan25^\circ x - \frac{10}{800\cos^225^\circ}x^2$ $\begin{cases} x \approx 2.32 \\ x \approx 25.3 \end{cases}$ And, the horizontal distance is 25.3 m.

当已知一个 parabolic path (例如 $y = 3x - \frac{1}{6}x^2$) 时, 可以反推出 该 particle 的初速度和发射角度. $u$ $\theta$

例: 已知 $y = 0.3x - 0.1x^2$, 求 $u$ 和 $\theta$. $\because y = x\tan\theta - \frac{gx^2}{2u^2\cos^2\theta}$ $y = 0.3x - 0.1x^2$ $\therefore \begin{cases} \tan\theta = 0.3 \quad \text{①} \\ \frac{g}{2u^2\cos^2\theta} = 0.1 \quad \text{②} \end{cases}$

①. $\tan\theta = 0.3$ $\begin{cases} \theta = 16.7^\circ & \text{向上的 } 16.7^\circ, \text{ 保留.} \\ \theta = -163.3^\circ & \text{向下的 } 163.3^\circ, \text{ reject.} \end{cases}$

②. $u^2 = \frac{g}{2\times0.1\times\cos^2\theta}$ $u^2 = \frac{10}{0.2}$ $u = 7.35$ Ans: $\theta = 16.7^\circ$, $u = 7.35$

通过一个 parabolic path, 反推出 particle 在某一角度的其他状态. 例1: Initial Condition: $y_0 = 50$, $u = 25$, $a = -10$ Unknown Condition: $\theta = -30^\circ$ 解: $\begin{cases} v_x = 25\cos30^\circ \\ v_y = 25\sin30^\circ \end{cases}$ $\tan(-30^\circ) = \frac{dy}{dx}$ $-v_y = \frac{\sqrt{3}}{3}v_x$ ①. $v = u + at$ $v_y = 25\sin10^\circ - gt$ $-\frac{\sqrt{3}}{3}v_x = 25\sin10^\circ - gt$ } 错[?]转换 $-\frac{\sqrt{3}}{3}\times25\cos30^\circ = 25\sin10^\circ - gt$ ← $v_x$ 不在[?]时改变 $t = 9.673$

②. $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ $y = 25\sin10^\circ - 5t^2$ $= -9.14$ ③. $50 - 9.14 = 40.9$ m. above the ground.

Summary#

初始速度的分量 $\begin{cases} u_x = u\cos\theta \\ u_y = u\sin\theta \end{cases}$

考虑时间 $t$ 和加速度 $a$ 后得到: 应用 $v = u + at$. $\begin{cases} v_x = u\cos\theta &, a = 0 \\ v_y = u\sin\theta - gt &, a = -g \end{cases}$

将速度与位移建立联系: 应用 $s = ut + \frac{1}{2}at^2$. $\begin{cases} x = u\cos\theta \cdot t \\ y = u\sin\theta \cdot t - \frac{1}{2}gt^2 \end{cases}$ → 特例: total flight time $t = \frac{2u\sin\theta}{g}$

将上两个式子结合, 可以消除 $t$, 得到 初速度(发射角度 $\theta$ 和发射速度 $u$) 和位移(水平方向 $x$ 和垂直方向 $y$) 的关系式: $y = x\tan\theta - \frac{gx^2}{2u^2\cos^2\theta}$

或公式表的写法: $\boxed{y = x\tan\theta - \frac{gx^2}{2u^2\cos^2\theta}}$ → 这个式子同样可以推出 $y=0$ 时 $x = \frac{u^2\sin2\theta}{g}$ 总经过的水平距离 (range)

上式 $x$ 项的系数为 $\tan\theta$, $x^2$ 项的系数为 $-\frac{g}{2u^2\cos^2\theta}$, 则 当 $y = ax - bx^2$ 时: $\begin{cases} a = \tan\theta \\ b = \frac{g}{2u^2\cos^2\theta} \end{cases}$

$\theta$: Angle of projection: $\boxed{\tan\theta = \frac{v_y}{v_x}}$